血液型の隠された法則
はじめにこの記事は、集団遺伝学における「ハーディー・ワインバーグの法則」を、ＡＢＯ血液型を例にして示そうというものです。元ネタは、中学数学部の元講師、藤木先生の「理科の数学的記述」からまるまるいただいています。本来は、メンデルの法則や遺伝子の話を詳しく行った上で、この授業をすべきでしょうが、そうすると時間があまりにもかかりすぎます。そこで、２０分程度の時間でできる余談として、コンパクトにまとめてみました。
なかなか面白い話題だと思うけど、皆さんはどう思うでしょうか。
私の授業風景（改良版）「さて、皆さんはこの授業で、血液型の人の割合を用いた、確率の問題をすでに解いていますよね。しかし、そこではお話しなかったことがあります。「遺伝」の話です。
「遺伝」とは、要するに親のもっている性質が子供にどのように現れるか、ということです。血液型の例でいえば、親の血液型が何かによって、子供の血液型がどのように決まるのか、ということです。
詳しい話をすると時間がかかるので、ここでは簡単にその仕組みを説明しますね。ＡＢＯ血液型では、Ａ，Ｂ，Ｏ，ＡＢの四種類の血液型があります。しかし、実はＡ型の人のなかには、２種類の人がいます。ＡＡという人と、ＡＯという人です。Ｂ型も同様です。さらにＯ型とＡＢ型を付け加えると、以下のようになります。
Ａ型： ＡＡ，ＡＯ
Ｂ型： ＢＢ，ＢＯ
Ｏ型： ＯＯ
ＡＢ型： ＡＢここで、ＡとかＯとか書いたのは、遺伝子とよばれるものです。一人の人あたり、必ず２つの遺伝子をもっていることがわかっています。この遺伝子の組み合わせによって、血液型が決まっているんですね。さて、親から子供に、この遺伝子はどのように伝わるのでしょう。例として、ＡＯの父親と、ＢＯの母親から生れる子供を考えてみましょう。この場合、子供は両親の二つの遺伝子のうち、一つずつをもらいます。ですから、生れてくる子供は、ＡＯ、ＡＢ，ＢＯ，ＯＯの四種類があり得ます。よってその子供は、Ａ型、Ｂ型、ＡＢ型、Ｏ型がそれぞれ確率１/４で生れてくるのです。
この血液型の遺伝では、例えばともにＯ型の両親からは、Ｏ型の子供しか生れませんよね。ですから、例えば生き別れた子供が、親を探していて、どうもそれらしい人にあったが決定打がないときには、血液検査をしてみるわけです。ＡＢＯ血液型のほかにも、数十種類の血液型があるので、それらを全て調べれば、かなりの確率で親かどうかを判定できます。
さて、以前日本人の血液型の割合がでてきましたが、この割合の中に法則が含まれていることを知っているでしょうか？この法則とは「ハーディーワインバーグの法則」と呼ばれていて、以下の条件が満たされるときに成り立つことが知られています。条件とは、
集団の数が大きい（日本の人口くらいなら大丈夫）
人口の流出や流入が少ない（日本のような島国ではよく成り立つ）
この遺伝子によって、生存確率が変化しない（血液型の場合、よく成り立つ）
この遺伝子型に無関係に結婚が成立する（要するに相手の血液型によって結婚をきめるようなことがない）です。日本のＡＢＯ血液型の場合は、これらをよく満たします。これらの条件が成り立つ場合には、以下のような考え方をしてかまいません。
まず、ある世代の親が子供の与える遺伝子を、一つのプールに一度ためます。子供は、このプールの中から遺伝子を勝手に二つ選びます。それによって、子供の世代の血液型の分布がわかるのです。
このプールのなかには、Ａ遺伝子、Ｂ遺伝子、Ｏ遺伝子がそれぞれＡ，Ｂ，Ｏの割合で存在しているとします。当然、Ａ＋Ｂ＋Ｏ＝１です。ここから、二つの遺伝子を取り出して、例えばＯ型となる確率を計算してみましょう。これは、独立事象の積法則より、Ｏ×Ｏ＝Ｏ＾２（＾２は二乗を表す）となります。同様にＡＢ型は、Ａ×Ｂ、、、としたいけど、よく考えると、一個目がＡ，二個目がＢである確率がＡ×Ｂで、逆に一個目がＢで、二個目がＡである確率もＡ×Ｂなので、合計２ＡＢです。以下同様に、Ａ型となる確率はＡ＾２＋２ＡＯ、Ｂ型になる確率はＢ＾２＋２ＢＯとなります。
ここでチェックをしてみましょう。これらのＡ型、Ｂ型、Ｏ型、ＡＢ型の割合を全て足したら１のはずですよね。実際にやってみると、
Ｏ＾２＋２ＡＢ＋Ａ＾２＋２ＡＯ＋Ｂ＾２＋２ＢＯ
なのですが、、、これは以前に見たことない？そうそう、二乗の公式そのもので、
＝（Ｏ＋Ａ＋Ｂ）＾２＝１＾２＝１
なんですね。途中でＡ＋Ｂ＋Ｏ＝１を使っています。うまくいってるでしょ？（ここで、「おー」という声があがる。いい感じだぞ、、、）これで驚いてはいけません。いよいよこれからが本番です。日本の血液型の割合の詳しい値は、みんなに配った資料に与えられています。
Ａ型 ３８．２％
Ｏ型 ３０．５％
Ｂ型 ２１．９％
ＡＢ型 ９．４％さてここで、先ほどＡ，Ｂ，Ｏで書き表した、それぞれの血液型の割合を書いてみましょう。
Ａ型 ３８．２％ Ａ＾２＋２ＡＯ
Ｏ型 ３０．５％ Ｏ＾２
Ｂ型 ２１．９％ Ｂ＾２＋２ＢＯ
ＡＢ型 ９．４％ ２ＡＢこの表をよく見てください。実際にデータは４つあるのに、最後の列の式では文字が３つしかないでしょ？ということは、このデータの一部をつかってＡ，Ｂ，Ｏを決めておけば、そのほかのデータを予言できるのです！実際にやってみよう、、、といいたいけど、電卓を持ってくるのをわすれてしまって、誰かもってない？ない？うーん、しょうがないダッシュして借りてこよう。・・・はあ、疲れた。では、やってみよう。（先生少し休みなよ、という声があがる。やさしいやつらだなあ。）
まず一番てっとりばやいのが、Ｏ型のところだね。Ｏ＾２＝０．３０５だから、電卓をたたくとＯ＝０．５５２となる。次にいいのは、Ａ型とＯ型の足し算です。Ａ＾２＋２ＡＯ＋Ｏ＾２＝（Ａ＋Ｏ）＾２＝０．６８７だからＡ＋Ｏ＝０．８２９です。さっきのＯの値を使って、Ａ＝０．２７７ですね。あとＢは、Ａ＋Ｂ＋Ｏ＝１だから、Ｂ＝１−Ａ−Ｏ＝０．１７１です。これで全部決まった。あとはうまくいっているかどうかやってみよう。Ｂ型の割合は、Ｂ＾２＋２ＢＯで計算できる。やってみると、、、、Ｂ＾２＋２ＢＯ＝（０．１７１）＾２＋２×０．１７１×０．５５２＝０．０２９＋０．１８９＝０．２１８となる。おお、わずかに０．１％違っているだけだね。最後にＡＢ型、やってみると、、、２ＡＢ＝０．０９５となる。おおお、これもあってる。（生徒は、拍手喝さい。こんなの久しぶりだなあ。）
上での議論でははっきり言わなかったけど、ハーディー・ワインバーグの法則とは、血液型の割合が親の世代と子の世代で変化しないこと、さらにその割合が安定的であることなども保証します。
というわけで、実は血液型の割合の背後には、法則が横たわっているわけです。その法則は、確率の積法則などの確率計算が基礎になっているわけですね。確率は、実際のデータを説明する、大きな武器となるわけです。」
おわりに（先生向け）実際にやってみると、このネタは巧妙にできていることがわかります。遺伝の話、積法則の復習、二乗の定理の再現、データの予言など、山場の連続です。現状では、完璧に近いネタだと思う。中学部の上クラスや、高校部の確率の授業で、独立事象の積法則の後に使うと効果的でしょう。
本当は遺伝の話をくわしくしようと思って、メンデルの話なども用意したけど、そこまでいくと数学の授業にならないので、これくらいでちょうど良かったと思う。
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というわけで、一件落着（？）